O teorema de Fermat e o que faz dele um dos maiores desafios matemáticos da história

Por: Maria Clara Rossini (mariaclararossini@usp.br)
Pierre de Fermat ao lado da equação mostrada no documentário “O último teorema de Fermat”. Imagem: Reprodução

Protagonista de livros, filmes e até de histórias em quadrinhos. Quem acha que estamos falando de um personagem dificilmente atribuirá esses papéis a um teorema matemático. Surpreendentemente, esse é o caso do teorema de Fermat, uma afirmação matemática aparentemente simples que levou mais de 350 anos para ser demonstrada. O que torna o problema tão intrigante é a dificuldade de se provar uma equação tão simples, o que levou diversos matemáticos ao longo dos anos a se debruçarem sobre o teorema. Sua demonstração, como veremos a seguir, é muito mais complexa do que se poderia imaginar.

O que diz o teorema?

Ele pode ser explicado como sendo “um passo a mais” do teorema de Pitágoras, que é explicado pela equação a² + b² = c², o qual normalmente é aplicado em triângulos retângulos, sendo a, b e c números inteiros que representam o comprimento dos lados do retângulo.

Um exemplo clássico é 3² + 4² = 5². Essa equação está correta, mas se por um acaso o expoente 2 fosse trocado por qualquer número maior, ela já passaria a ser falsa. Isso vale não apenas para a sequência 3, 4 e 5, mas para quaisquer números que nós tentássemos colocar no lugar das letras a, b e c.

Isso sintetiza o teorema de Fermat. Pierre de Fermat se perguntou se a equação de Pitágoras não valeria também com expoentes maiores que 2, buscando uma maior generalização. Após muitas tentativas, percebeu que não conseguia encontrar números inteiros que tornassem a equação verdadeira para qualquer outro expoente. Assim, o teorema afirma que não existem números inteiros pelos quais eu possa substituir as letras a, b e c que satisfaçam a equação, sendo representado pela expressão anb≠ cquando n é maior que 2.

 

História da descoberta

Em 1637, o matemático francês Pierre de Fermat escreveu uma anotação em seu exemplar do livro “Aritmética” que dizia o seguinte: “É impossível para um cubo ser escrito como a soma de dois cubos ou uma quarta potência ser escrita como a soma de duas quartas potências ou, em geral, para qualquer número que é uma potência maior do que a segunda, ser escrito como a soma de duas potências com o mesmo expoente”.

Em outras palavras, ele dizia que não há nenhum conjunto de números inteiros positivos que possam satisfazer a equação  quando n é maior que 2. Como toda afirmação matemática, essa também deveria ser demonstrada para que fosse aceita como verdadeira. Pensando nisso, Pierre fez uma segunda anotação no mesmo livro: “Eu descobri uma demonstração maravilhosa, mas a margem deste papel é muito pequena para contê-la”.

Pela simples “falta de espaço no papel”, o teorema permaneceu um mistério, considerado o “Santo Graal” da matemática. Prêmios, estima e fortuna seriam destinadas a aquele que conseguisse desvendar o teorema, o qual foi incluído no livro “Os Maiores Problemas Matemáticos de Todos os Tempos” de Ian Stewart.

Importantes matemáticos através dos tempos se dedicaram e ainda assim morreram sem conhecer a prova do teorema. Leonhard Euler, matemático responsável por grandes descobertas em diversas áreas, chegou a demonstrar para o caso em que o expoente n é igual a 3, – assim como outros matemáticos provaram para outros expoentes – mas ainda sem chegar a uma generalização.

Foi apenas em 1993, em uma palestra denominada “Formas modulares, curvas elípticas e representações galoisianas”, que o britânico Andrew Wiles apresentou uma demonstração geral para qualquer fosse o expoente. Ainda assim, quando analisada com calma por 6 examinadores, ela apresentou falhas.

Desde os 10 anos de idade, Wiles se interessa e sonha em resolver o teorema. Talvez por isso continuou persistindo e, em conjunto com Richard Taylor, publicou a demonstração definitiva em 1995, 358 anos após o teorema ser proposto.

 

Andrew Wiles na frente de sua primeira demonstração do teorema. Imagem: Reprodução

 

A demonstração

Apesar de ter sido fundamental e considerado o responsável pela demonstração, Andrew Wiles está longe de ser o único envolvido no processo. A prova do teorema é resultado de anos de desenvolvimento da matemática e trabalho de diversos estudiosos. O documentário “O último teorema de Fermat” (Fermat’s Last Theorem, 1996) mostra um pouco da participação de descobertas feitas por outros matemáticos direta ou indiretamente.

A prova apresentada em 1993, mesmo com erros, continha 200 páginas. Utilizando conceitos da matemática antiga e moderna, a demonstração definitiva é mais complexa do que se poderia esperar de uma afirmação proposta no século XVII.

Como mostra o título da palestra de Wiles, a prova é baseada em teorias modernas. Segundo o professor Marcelo Saia, do departamento de matemática do campus da USP de São Carlos, “As relações entre estas teorias, tais como funções modulares, curvas elípticas e a conjectura Taniyama-Shimura são bem sofisticadas e envolvem principalmente um grande conhecimento de Teoria dos Números e Geometria Algébrica, ramos muito bem desenvolvidos atualmente.“

Tais ideias podem parecer difíceis de compreender para alguém que não conhece matemática profundamente, mas não impossíveis. O documentário de 50 minutos citado acima e o livro de mesmo nome, ambos produzidos por Simon Singh, tentam explicar, mesmo que de forma breve e superficial, a solução para o público geral.

Pelo fato de envolver técnicas e teorias que só foram desenvolvidas após a morte de Pierre de Fermat, é impossível que o matemático tivesse em mente a mesma demonstração hoje conhecida. Mas será que ele realmente tinha uma “demonstração maravilhosa” mais simples em mente?

“Não acredito que Fermat soubesse uma solução tão maravilhosa assim, entendo que ele podia acreditar nisso na época em que escreveu este comentário, mas ao tentar escrever esta solução percebeu que as dificuldades eram bem maiores do que ele imaginava.  Tanto que somente após a sua morte em 1665, foi descoberto que ele tinha escrito um esboço da demonstração para o caso n=4.”, diz o professor Saia.

 

O teorema na ficção

Doctor Who

 

O doutor e Jeff entram em uma conferência com líderes mundiais em “The eleventh hour”. Imagem: Reprodução

No primeiro episódio da quinta temporada de Doctor Who (The eleventh hour), o décimo primeiro doutor conversa com líderes mundiais em uma conferência de vídeo e tenta convencê-los a confiar nele para salvar a humanidade. Para isso, alega estar digitando a prova do teorema de Fermat, “a de verdade, nunca antes vista”, fazendo referência a uma viagem no tempo em que teve a oportunidade de conhecer Fermat pessoalmente e descobrir a demonstração original

Os Simpsons

 

Atrás de Homer, há uma solução falsa para o teorema de Fermat. Imagem: Reprodução

Um dos desenhos de maior sucesso mundial também fez referências ao teorema. Nos episódios “Casa da árvore dos horrores VI” e “O mágico de Springfield”, são apresentadas equações que aparentemente contradizem o teorema. 1782¹² + 1841¹² = 1922¹² é um dos exemplos. Caso tente-se resolver essa equação em uma calculadora comum, ela se mostrará correta. Já em uma calculadora mais precisa, na qual cabem mais números, pode-se perceber uma disparidade nos resultados de cada lado da igualdade, o que já é suficiente para que ela seja falsa.

Star Trek

 

Jean-Luc Picard encara o teorema na tela de seu dispositivo. Imagem: Reprodução

Uma das cenas iniciais do episódio 12 da segunda temporada de Star Trek: The next generation mostra Jean-Luc Picard em sua sala tentando resolver o teorema. O episódio foi ao ar em 1989 – 6 anos antes da demonstração definitiva por Andrew Wiles – e, ao explicar o teorema para Will Riker, Picard afirma que mesmo após 800 anos ninguém conseguiu desvendá-lo.

A menina que brincava com fogo

O segundo livro da trilogia sueca Millenium mostra que a personagem Lisbeth Salander se interessava pelo teorema e procurava uma prova diferente da proposta por Andrew Wiles. Depois de muito se dedicar ao problema, Lisbeth afirma finalmente ter descoberto a prova, a qual nunca é revelada ao leitor.


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